०३

TRANSFORMATION OF A SQUARE INTO A RECTANGLE AND A CIRCLE, OF A CIRCLE INTO A SQUARE, AND CONSTRUCTION AS WELL AS ENLARGEMENT OF SQUARES OF DIFFERENT MEASURES FOR SURFACE MEASUREMENTS

The chapter deals with the transformation of squares into rectangles and circles, and of circles into squares. The methods given are the same as those by Baudhāyana. Moreover, Āpastamba has given an idea of surface measures and methods of enlargement or construction of different squares.

समचतुरश्रं दीर्घचतुरश्रं चुकीर्षना यावच्चिकीर्षेत्तावतीं पार्श्वमानीं कृत्वा यदधिकं स्याद्यथायोगमुपदध्यात् ॥ ३.१ ॥

If it is desired to transform a square into a rectangle, the side is made as long as desired; (after diagonal intersection), what remains as excess portion is to be placed where it fits. (Like Bśl. 2.4, the rule is defective and does not lead to proper geometrical operation).

समचतुरश्रं दीर्घचतुरश्रं चुकीर्षना यावच्चिकीर्षेत्तावतीं पार्श्वमानीं कृत्वा यदधिकं स्याद्यथायोगमुपदध्यात् ॥ ३.१ ॥

समचतुरश्रं दीर्घचतुरश्रं कर्तुमिच्छन् यावता दीर्घभूतेन प्रयोजनं तावत्पार्श्वमालिख्य यदधिकक्षेत्रं तद्यथायोगं यथा तत्क्षेत्रं चुज्यते तथा क्षिपेत् । चतुरश्रं विभज्य उभयतःप्रौगे विनियोगः, अवकीर्णिपशौ च ।

करविन्दीया व्याख्या

समचतुरश्रं द्विधा कृत्वा तस्यैकस्मिन् भागे भागान्तरस्योपर्युपरि निहिते दीर्घचतुरश्रं भवतीति मन्वानस्तस्य प्रकारमाह

समचतुहश्रंौपदध्यात्समेति । तिर्यङ्भान्या अपच्छिद्य शेषं विभजेदित्येव । समचतुरश्रं दीर्घचतुरश्रं कर्दुमिच्छन् समचतुरश्रं त्रिभागाद्विभागार्धादीनामन्यतमेनैकांशेन परिमिततिर्यक्प्रमाणं दीर्घचतुरश्रङ्कर्तुमिच्छति तावत्या तिर्यङ्भान्या समचतुरश्रमेकतोऽपच्छिद्य शेषस्य समचतुरश्रकरणीसमां पार्श्वमानीं तावतीमुक्तया तिर्यङ्भान्या समचतुरश्रं कृत्वा तत्र शेषं विभज्य यदधिकं स्यात्तद्यथायोगमुपदध्यात् । अधिकस्य यथा विभागे कृते विभागा एकैकशो वा सर्वाः संहस्य वा भागान्तरस्योपरि निधीयमानास्तद्विस्तारं व्याप्यान्योन्यसंघटितास्तद्दीर्घं संपादयन्ति तथा विभज्य सर्वं शेषं भागान्तरस्योपरि निदध्यादिति । अयमर्थःसमचतुरश्रं दीर्घचतुरश्रं चिकीर्षन् क्त्रियमाणस्य चिकीर्षितविस्तारप्रमाणया तिर्यङ्भान्या समचतुरश्रमेकतोऽवच्छिद्य शिष्टस्य च पार्श्वमानीं तावतीं कृत्वा तदधिमेकयानेकया वा विभज्य तेसर्वे भागा दीर्घचतुरश्रं यथा संपादयन्ति तथा सर्वशेषं भागान्तरस्योपर्युपरि निदध्यादिति । अत्राधिकृते शेषशब्दे कर्मवाचिन्यपि सन्निधेःसामर्थ्याच्च तस्य षष्ठ्यर्थोऽपिप्रतीयते । तावतीमित्यादिशब्दस्य शेषसंबन्धित्वे सामञ्जस्याद्यावच्चिकीर्षेदित्यपि दीर्घविस्तारविषयःस्यात् । एक एव न्या यो दीर्घस्यापि दीर्घवीधाववगन्तव्यः ।

तत्र श्लोकाः

चतुरश्रं समं द्वैधं कृत्वा भागान्तरोपरि ।

क्षिप्ते भागान्तरे दीर्घचतुरश्रं तु तद्धवेत् ॥

करिष्यमाणदीर्घस्य विस्तारसमपार्श्वकम् ।

विभज्य शेषमधिकं यथायोगं हि तत्क्रिया ॥

तावती पार्श्वमान्याश्च शेषस्याञ्जस्यभागतः ।

करिष्यमाणदीर्घस्य तिर्यग्यावच्चिकीर्षितम् ॥

सुन्दरराजीया

(समचतुरश्रौपदध्यात्)

अयमत्र प्रकारः यावदिच्छं पार्श्वमान्या प्राच्यौ वर्धयित्वा उत्तरपूर्वां कर्णरज्जुमायच्छेत्, सा दीर्घचतुरश्रमध्यस्थायां समचतुरश्रतिर्यङ्भान्यां यत्र निपतति तत उत्तरं हित्वा दक्षिणांशं तिर्यङ्भानीं कुर्यात्, तद्दीर्घचतुरश्रं भवति । दीर्घस्य दीर्घकहणेऽप्ययमेव प्रकारः ॥

कपर्दिभाष्यम्

चतुरश्रं मण्डलं चिकीर्षन्मध्यात्कोट्यां निपातयेत् ॥ ३.२ ॥

If it is desired to transform a square into a circle, a cord is stretched from the centre (of the square) upto its corner (so as to measure out a length equal to half the diagonal).

चतुरश्रं मण्डलं चिकीर्षन्मध्यात्कोट्यां निपातयेत् ॥ ३.२ ॥

यच्चतुरश्रं मण्डलं कर्तुमिच्छेत् । रथचक्त्रचिदादौ विनियोगः । मध्यात्कोट्चां निपातयेत्मध्यमे शङ्कौ पाशं प्रतिमुच्य कोट्यामायच्छेत्कर्णेनाऽयच्छेत् । अपसार्य तत्र लक्षणं कृत्वा

पार्श्वतः परिकृष्यातिशयतृतीयेन सह मण्डलं परिलिखेत् ॥ ३.२ ॥

It is (then) stretched (from the centre) towards the (eastern) side. With one-third of the excess part (lying outside the eastern side) added (to the portion of the cord between the centre and the side), the (required) circle is drawn.

पार्श्वतः परिकृष्यातिशयतृतीयेन सह मण्डलं परिलिखेत् ॥ ३.२ ॥

तेनैव लक्षणेन पार्श्वतः आकर्षेत् । परिकृष्टं यावच्च तुरश्रमतीत्य शेते सोऽतिशयः । तस्यातिशयस्य तृतीयेन सह चतुरश्रार्घेन मण्डलं परिलिखेत्सर्वतो लिखेत् ।

सा नित्या मण्डलम् ॥ ३.२ ॥

This is the (approximate) circle,

सा नित्या मण्डलम् ॥ ३.२ ॥

सानित्या मण्डलं करोति । अनित्या सथूला ॥

यावद्धीयते तावदागन्तु ॥ ३.२ ॥

for (almost) as much is added as is cut off (from the corners of the square).

3.1-3.2. Square into a rectangle and circle. The sūtra Ãśl. 3.1 describes the method of transformation of a square into a rectangle. This has been discussed in detail under Bśl. 2.3-2.4. The methods of transformation from square into a circle given in Āśl. 3.2 and Bśl. 2.9 are exactly the same; for discussion, vide Bśl. 2.9.

यावद्धीयते तावदागन्तु ॥ ३.२ ॥

स्त्रक्तिषु यावद्धीयते तावत्पार्श्वे न गच्छति । एतच्च वचनमासन्नतरत्वख्यापनार्थम् ।

करविन्दीया व्याख्या

(चतुरश्रं मण्डलंतावदागन्तु)

समचतुरश्रं मण्डलं चिकीर्षन कर्तुमिच्छन् तस्य चतुरश्रस्याक्ष्णयारज्वर्घप्रमाणात्किञ्चिदधिकामेकतःपाशां रज्जुं मीत्वा तत्पाशं चतुरश्रस्य मध्यमे शक्ङौ प्रतिमुच्य तामक्ष्णयाकोट्यां निपात्य तत्र लक्षणं कृत्वा पार्श्वप्रदेशादतिरिक्तलक्षणयोरन्तरालं त्रेधा विभज्य अन्ततो द्वौ भागावुत्सृज्य भागेनैकेन सहितायां चतुरश्रार्द्धप्रमाणया रज्ज्वा यथा भूमिमण्डलं भवति तथा परितःसर्वतो लिखेत् । एवं कृते सा नित्या मण्डलंचतुरश्रक्षेत्रतिल्यक्षेत्रं भवति । सा नित्यासा भूमिर्नित्या, यावत्चतुरश्रे भूमिः मण्डलेऽपि सा भवती त्यर्थः । तत्र हेतुमाहयावद्धीयते तावदागन्तुयावत्प्रमाणं क्षेत्रं हीयते हीयमानतया (इति) टृश्येत चतुरशभक्तिषु तावन्मण्डलस्य पार्श्वेष्वागन्तु टृश्यते, तस्मान्नित्येति । ननु विष्कम्भार्धेन परिणाहार्धमभ्यस्य फलावगतिरित्यनेन न्यायेन भूमेः नात्यन्ततुल्यता, तत्कथं नित्येति? उच्यतेयद्यप्यनित्या, तथाप्यन्येषामुपायान्तराणामतिस्थूलत्वादस्य चोपायस्यासन्नत्वात्सम्यगुपायस्य वहुप्रयत्नसाध्यत्वेन अशक्यत्वाच्चैवं वदत आचार्यस्यायमेवोपायःसाधुरित्यभिप्रायः । यावदिह हीयते तावदागन्तु इति

तयोरल्पवैषम्यात्तावदेवेति । प्रवृत्तिरोचनार्थमनित्यापि नित्येत्युक्तेत्यदोषः । अथवा या रज्जुर्मण्डलं करोति सा रज्जुरिति रज्ज्वभिप्रायोऽपि तच्छब्दः ।

सुन्दरराजीया व्याख्या

(चतुरश्रं मण्डलंतवदागन्तु)

चतुरश्रमध्ये शङ्कुं निहत्य तस्मिन् रज्जुं प्रतिमुच्य कोट्यामक्ष्णयां निपात्य चिह्नं कृत्वा पार्श्वे कृत्वा पार्श्व च परिकृष्य तस्मिन् चिह्नं कृत्वा चुह्नयोरन्तरालं त्रेधा कृत्वा एकभागसहितेन चतुरश्रार्घेन मण्डलं परिलिखेत्सा रज्जुरनित्या मण्डलं करोति यावद्धीयते कोटिषु तावत्प्रमाणं पार्श्वष्वागच्छति ॥

कपर्दिभाष्यम्

मण्डलं चतुरश्रं चिकीर्षन् विष्कम्भं पञ्चदश भागान् कृत्वा द्वावुद्धरेत् । त्रयोदशावशिष्यन्ते । सा नित्या चतुरश्रम् ॥ ३.३ ॥

To transform a circle into a square, the diameter is divided into fifteen parts and two of them are removed, leaving thirteen parts. This gives the approximate (side of the) square (desired).

3.3. Circle into a square. This is the same as that of Bśl. 2.10-2.11 (second method).

मण्डलं चतुरश्रं चिकीर्षन् विष्कम्भं पञ्चदश भागान् कृत्वा द्वावुद्धरेत् । त्रयोदशावशिष्यन्ते । सा नित्या चतुरश्रम् ॥ ३.३ ॥

मण्डलं चतुरश्रं कर्तुमिच्छन्मण्डलस्य विष्कभ्यं व्यासं पञ्चदशधा विभज्य द्वौ भागौ त्यजेत् । त्रयोदशभागाःशिष्यन्ते । तैस्त्रयोदशभिर्मिता रज्जुः तावत्क्षेत्रं चतुरश्रं करोति । सा चानित्या स्थूलतरा । त्रयोदशावशिष्यन्त इति वचनं शुल्बान्तरोक्तादपि मानसं वरमिति ख्यापनार्थम् । तीव्रसुतसोमे विनियोगः । तत्र प्राच्येकादशिनि मातव्या । तत्राङ्गुलेन प्रादेशमात्रं वेदिखण्डमुपादातव्यम् । यदि द्वादशाङ्गुला उपरवाः अर्धप्रादेशाङ्कोर्दक्षिणतःषडङ्गुले शङ्कुं निहत्य तावद्वयास चतुस्त्रिंशत्प्रक्रमायामा प्राची वेदिर्मन्तव्या । दशानां क्षेत्रम् । सूत्रकारोपदेशेन पञ्चशतानि चत्वारिंशदधिकानि अङ्गुलक्षेत्राणि । तदर्धाङ्गुलं गृह्यते । तेन वेदिच्छेदोर्ऽधमानेषु । पूर्वार्धानां वेदिसंस्कारो न क्रियते । अतिरिक्तक्षेत्रं निरस्तं भवति । वेदेश्र्वावटेषु विच्छित्तिर्भवति

करविन्दीया व्याख्या

(मण्डलं चतुरश्रं चिकीर्षनचतुरश्रम्)

मण्डलस्य विस्तारप्रमाणं विष्कम्भः । तत्पञ्चदशधा विभज्य द्वौ भागावपनयेत् । शिष्टास्त्रयोदश भागाश्चतुरश्रस्य करणी भवति । अत्रापि सा नित्येत्यादि समानम् । तावेव चोद्यपरिहारौ ।

सुन्दरराजीया व्याख्या

(मण्डलं चतुरश्रं चिकीर्षनचतुरश्रम्)

त्रयोदश भागाः करणी चतुरश्रस्य अनित्या चतुरश्रं करोति । अनयोरनित्यत्वं विज्ञायते गणितविरोधात्परस्परविरोधाच्च । तथाहिसप्तविधस्य सारत्निप्रादेशस्य रथचक्रचितावग्नेः क्षेत्रं लक्षमष्टौ च सहस्राण्यङ्गुलयः, तस्य चतुरश्रीकृतस्य करणी त्रीणि शतान्यष्टाविंशतिश्र्वाङ्गुलयोर्ऽधद्वाविंशाश्र्व तिलाः । तस्मिन्नुक्तेन मर्गेण मण्डले कृते त्रीणि शतानि चतुःसप्ततिश्र्वाङ्गुलयो विष्कम्भो भवति । तस्य परिणाहःसहस्रं पञ्चसप्ततिशताङ्गुलयः । यथाऽहुः

चतुरधिकं शतमष्टगुणं द्वाषष्टिस्तथा सहस्राणाम् ।

अयुतद्वयविष्कम्भक्यासन्नो वृत्तपरिणाहः ॥

इति । अस्य मण्डलस्य फलं लक्षं नवसहस्रमष्टौ शतानि षष्टिश्वाङ्गुलयो टृश्यन्ते उक्तं च

समपरिणाहस्यार्धं विष्कम्भार्धहतमेव वृत्तफलम् ।

इति । एवमग्निक्षेत्रे रथचक्रचिदादौ मण्डले कृते षष्ट्यधिकानि अष्टशतानि सहस्रं चाङ्गुलयोऽतिरिच्यन्ते । तथा च परस्परविरोधः । अर्धद्वाविंशतितिलसहिताष्टाविंशतिशतत्रयाङ्गुलकरणीकस्याग्नेर्मण्डलीकृतस्य विष्कम्भः चतुःसप्ततिशतत्रयाङ्गुल उक्तः । तस्यैव मण्डलस्योक्तेन मार्गेण चतुरश्रीकरणे त्रीणि भवतीति पूर्वोक्तायाः करण्याःसाष्टादशतिलाश्चतस्रोऽङ्गुलयो हीयन्ते । तस्मात्सूक्ष्ममिच्छता चतुरश्रस्य मण्डलकरणे सूत्रोक्तादतिशयतृतीयभागसहिताद्विष्कम्भार्धादष्टादशशतांशस्त्याज्यः । एवं कृते रथचक्रचितौ बिष्कम्भः षट्रतिलोनैकसप्ततिशतत्रयाङ्गुलो भवति । परिणाहश्च पञ्चषष्टिशतसहस्राङ्गुलयः । तस्य मण्डलस्य समपरिणाहस्येत्यादिना पूर्वोक्तेन आनीतं फलं लक्षमष्टौ सहस्राणि भवन्ति । मण्डलस्यापि चतुरश्रकरणे सूत्रोक्ते विष्कम्भे स्वस्मात्त्रिगुणात्त्रयस्त्रिंशच्छतांशं युञ्ज्यात् । तत्र श्लोकाः

चतुरश्रमण्डलकृतौ त्यक्तव्योऽष्टादशशताशः । सूत्रोक्ताद्व्यासार्धाद्व्यासार्धं मण्डलस्यैतत् ॥१ ॥

चतुरश्रव्यासे वा त्रिंशशतांशं समाभ्यस्य । पुनरष्टमं च युञ्ज्याद्विष्कम्भो मण्डलस्यैषः ॥२ ॥

मण्डलचतुरश्रकृतौ विष्कम्भे सूत्रचोदिते युञ्ज्यात् । त्रिगुणात्स्वकात्र्रयस्त्रिंशत्सातिशयान्मण्डलस्यैतत् ॥३ ॥

मण्डलविष्कम्भाद्द्वात्रिंशशतांशकं परित्यज्य । शिष्टान्नवमं जह्याच्चतुरश्रस्यैष विष्कम्भः ॥४ ॥

एवं कृते हि वह्नावेकशतविधेऽपि वृत्तविष्कम्भे । स तिलद्वितयविशेषो न च भवति परस्परधिरोधः ॥५ ॥

कपर्दिभाष्यम्

प्रमाणेन प्रमाणं विधीयते ॥ ३.४ ॥

The (square) measure is to be done by means of the (linear) measure.

प्रमाणेन प्रमाणं विधीयते ॥ ३.४ ॥

चतुरश्रं प्रमीयते क्षेत्रमनेनेति प्रमाणं प्रक्रमादि । यत्र प्रमाणेनैव चोदना तत्र तेनैव चतुरश्रं विधीयत इति प्रत्येतव्यम् । पुरुषं दक्षिणे पक्षः इत्यादिषु च संख्या विवक्षिता ।

करविन्दीया व्याख्या

द्विकरणीप्रभृतयः करण्य उक्ताः तासां फलावगमायाहप्रमाणेनेति ।

(प्रमाणेन प्रमाणं विधीयते)

यत्र प्रमाणेनैकेन विमानं तत्र सर्वतस्तेनैकेन परिमितं चतुरश्रं फलं भवति यथा “पुरुषं दक्षिणे पक्षे” इत्यादि,

सुन्दरराजीया व्याख्या

चतुरश्राणां फलक्षेत्रमाह

(प्रमाणेन प्रमाणं विधीयते)

प्रमाणमात्रेण दण्डेन प्रमाणमात्रं क्षेत्रं विधीयतेक्रियते ।

कपर्दिभाष्यम्

चतुरश्रमादेशादन्यत् ॥ ३.५ ॥

A square (of unit area) is to be understood in the absence of anything to the contrary.

चतुरश्रमादेशादन्यत् ॥ ३.५ ॥

आदिशतीत्यादेशो विधिः । विधेरन्यद्धवतियत्र विधीयते तत्रान्यदपि भवति तेनैव प्रमाणेन गार्हपत्यचित्युपरवादिषु

करविन्दीया व्याख्या

(चतुरश्रमादेशादन्यत्)

आदिशतीत्यादेशःुपदेशः । तेनान्यच्चतुरश्रात्प्रागादिफलत्वमवगम्यते । अथवा आदिशतीत्यादेशोगणितशास्त्रम् । ततो विषमादीनां फलमवगन्तव्यमिति । उक्तं च तत्र सर्वेषां क्षेत्राणां प्रसार्य पार्श्वफलं तदभ्यासे इति, अस्यार्थःसर्वेषां विषमक्षेत्राणां पार्श्वेपार्श्वमानीतिर्यङ्भान्यौ प्रसार्यसंपाद्य । तदभ्यासेतयोरन्यान्यगुणकाले फलमवगन्तव्यमिति । त्रिकं द्विधा प्रच्छिद्यान्यतरच्छेदमन्यत्रोपदध्यात् । तत्र सा दीर्घा चतुरश्रा । “तथायुक्तां संचक्षते” वक्ष्यमाणेन न्यायेन फलावगमः, दीर्घचतुरश्रस्य पार्श्वमानीप्रमाणेन तिर्यङ्भानीप्रमाणमभ्यस्य फलावगमः । वृत्तस्य परिणाहार्धेन विष्कम्भार्धमभ्यस्य फलावगमः । शरार्धप्रमाणेन धनुरर्धमभ्यस्य धनुषः फलावगम इत्यादि गणितशास्त्रादवगन्तव्यमिति । प्रकृतमनुसरामः ॥

सुन्दरराजीया

(चतुरश्रमादेशादन्यत्)

सर्वत्र चतुरश्रमेव क्रियते तद्विधानादेव मण्डलादि ।

कपर्दिभाष्यम्

द्वाभ्यां चत्वारि ॥ ३.६ ॥

(A cord of length) twice the measure produces four (square measures);

द्वाभ्यां चत्वारि ॥ ३.६ ॥

द्वाभ्यां प्रक्रमाभ्यां चतुरश्रे कृते चत्वारि पुरुषप्रमाणानि भवन्ति । मण्डलानां चतुरश्रकरणमुक्तम् । चतुरश्राणां मण्डलकरणमिदं नोक्तं इयत्या रज्ज्वा इयत्क्षेत्रं भवतीति । अत इदमुच्यते

त्रिभिर्नव ॥ ३.६ ॥

thrice the measure nine (square measures).

3.4-3.6. Squares of different measures and enlargement of areas. One unit in length produces one square unit area; two units produce four square areas, and three units nine square areas, and so on. Pramāṇamātreṇa daṇḍena pramāṇamātram kṣetram vidhīyate | dvipramāṇena daṇḍena catvāri pramāṇakṣetrāni bhavanti (Sundararāja)a. The sutra Āśl. 3.7 explains that if ABCD be a square of p units, it produces p2 unit squares. If ABCD be a rectangle whose length AB has p units and breadth BC q units, then ABCD contains pq unit square areas (Fig. 3).

त्रिभिर्नव ॥ ३.६ ॥

त्रिभिः प्रक्रमैः चतुरश्रे कृते नव पुरुषक्षेत्राणि भवन्ति । तथा भूमावालिख्य द्रष्टव्यम् ।

करविन्दीया व्याख्या

(द्वाभ्यांनव)

उपलब्धिः यत्र द्वाभ्यां द्विगुणप्रमाणेन विमानं तत्र सर्वतो द्विप्रमाणे चतुरश्रे द्विप्रमाणपरिमितानि चत्वारि चतुरश्राणि फलं भवति । त्रिप्रमाणे चतुरश्रे त्रिप्रमाणपरिमितानि नव चतुरश्राणि फलम् ।

सुन्दरराजीया व्याख्या

(द्वाभ्यांनव) द्विप्रमाणेन दण्डेन चत्वारि प्रमाणक्षेत्राणि भवन्ति ।

कपर्दिभाष्यम्

यावत्प्रमाणा रज्जुस्तावतस्तावतो वर्गान् करोति ॥ ३.८ ॥

The number of units of measure in a cord is to be squared (to get the area of the square in that measure). (Alternatively, as many units of measure there are in a cord so many rows of squares on each side will be in a square of side equal to the measuring cord.) This is the meaning.

यावत्प्रमाणा रज्जुस्तावतस्तावतो वर्गान् करोति ॥ ३.८ ॥

यावत्प्रमाणायावदायामा रज्जुः तावतो वर्गान्करोतिपङ्क्तीः करोतियावत्संख्यायुक्तं प्रमाणं तावत्संख्यायुक्ताः पङ्क्तीः करोति । पञ्चमानां पञ्चसख्यायु क्तान्वर्गान्करोति । एवं सर्वत्र योजनीयम् ।

तथोपलब्धिः ।

भूमावालिख्य प्रेक्षिते तथैवोपलभ्यते । द्याभ्यां कृते उभयतो लिखैते चत्वारि शृङ्गाणि भवन्ति, पञ्चभिः कृते पञ्चधा, उभयतो लिखिते पञ्चविंशतिशृङ्गाणि भवन्ति । एवं सर्वत्र द्रष्टव्यम् ।

करविन्दीया व्याख्या

(यावत्प्रमाणा यथोपलब्धिः)

यावन्ति प्रमाणानि यस्या रज्ज्वाः सा रज्जुस्तावतस्तावतः प्रमाणसंख्यायुक्तान् तावतःतत्संख्यागुणितान्वर्गान् समचतुरश्रान् करोति । “वर्गसमचतुरश्रः” इति गणितशास्रेषु व्यवहारः । तथा चतुष्प्रमाणा रज्जुश्चतुर्भिर्गुणिताश्चतुरो वर्गान् षोडश करोति । पञ्चप्रमाणा पञ्चभिर्गुणितान् पञ्च वर्गान् पञ्चविंशतिं, षट्प्रमाणा एकोनपञ्चाशतं, अष्टप्रमाणा चतुःषष्टिं, नवप्रमाणा एकाशीतिं, दशप्रमाणा शतं, एकादशप्रमाणा एकविंशोत्तरशतं, द्वादशप्रमाणा चतुश्वत्वारिंशच्छतमि त्यादि द्रष्टव्यम् । प्रमाणमाहौपलब्धिस्तथातथोपलभ्यते । उक्तेष्वर्थेषु प्रत्यक्षं प्रमाणमित्यर्थः । तथा द्विप्रमाणं चतुरश्रं द्विधापच्छिद्य चत्वार्युपलभ्यन्ते । त्रिपमाणं त्रिधापच्छिद्य नव, चतुष्प्रमाणं चतुर्धापच्छिद्य षोडश, एवं पञ्चप्रमाणादि ष्वपि । तथा दीर्घस्याक्ष्णयारज्जुरित्यादिषु तथातथोपलभ्यन्ते । द्वाभ्यामेकमभ्यस्य फले द्वे उपलभ्येते । त्रिभिर्द्वे अभ्यस्य षट । चतुर्भिर्द्वे अभ्यस्याष्टौ । तथाहिद्विप्रमाणपार्श्वमानीकमेकप्रमाणतिर्यङ्भानीयकं द्विधापच्छिद्य द्वे उपलभ्येते । द्विप्रमाणपार्श्वमानीकं त्रिप्रमाणतिर्यङ्भानीकं प्रमाग्द्विधोदक त्रिधापच्छिद्य षडुपलभ्यन्ते । एवमन्येष्वपि पार्श्वमानीप्रमाणसङ्ख्ययोदगवच्छेदः तिर्यङ्भानीप्रमाणसङ्ख्यया प्रागवच्छेद इति कृत्वा फलावगमः ।

सुन्दरराजीया व्याख्या

(यावत्प्रमाणा तथोपलब्धिः)

चतुर्बिःषोडश पञ्चभिः पञ्चविंशतिरित्यादि । अत्र प्रमाणम्

तथोपलब्धिः ।

कपर्दिभाष्यम्

अध्यर्घपुरुषा रज्जुर्द्वै सवादौ करोति ।

अधिउपर्यर्धं यस्याःसा अध्यर्धा, तया कृते चतुरश्रे सवादौ द्वौ करोति (१ १ञ्२ न् १ १ञ्२ उ ९ञ्४ उ २ १ञ्४)एकस्य वर्गः एकः (१२ १)तस्याग्रतः पार्श्वतश्च द्वावर्धौ । पूर्वेण सह द्वौ, अर्धेन यच्चतुरश्रं कृतं, कोट्यां सपादम् । तेन पादौ द्वौ करोति । एवमेवोत्तरसूत्रं योजयितव्यम् ॥

अर्धतृतीयपुरुषा षट्सपादान् ॥ ३.८ ॥

A cord 11⁄2 puruşa long makes 21 (square purușas); a cord of 21 purușas makes 61 (square puruṣas).

अर्धतृतीयपुरुषा षट्सपादान् ॥ ३.८ ॥

अथात्यन्त प्रदेशः ॥ ३.९ ॥

Now follows the method (of finding the area of a square) when the side is increased.

अथात्यन्त प्रदेशः ॥ ३.९ ॥

सार्वत्रिको विधिः (५ञ्२ न् ५ञ्२ उ ६ १ञ्४)

यावता यावताधिकेन परिलिखति तत्पार्श्वयोरुपदधाति । यच्च तेन चतुरश्रं क्रियते तत्कोट्याम् ॥ ३.९ ॥

With the side (of the given square) and the length by which the side is increased is drawn (a rectangular area) which is placed on either side. (of the square). A square is formed with the length by which the side is increased and placed in the corner (to produce the enlarged square whose area is the sum of the given square, the two rectangles and the corner square piece).

यावता यावताधिकेन परिलिखति तत्पार्श्वयोरुपदधाति । यच्च तेन चतुरश्रं क्रियते तत्कोट्याम् ॥ ३.९ ॥

अर्धप्रमाणेन पादप्रमाणं विधीयते ॥ ३.१० ॥

With half the side of a square, a square one-fourth in area is produced,

अर्धप्रमाणेन पादप्रमाणं विधीयते ॥ ३.१० ॥

यावता थेदेनाधिकेन परिलिकिति तत्पार्श्वयोरग्रतश्वोपदधाति । यत्तेन चतुरश्रं क्रियते तत्कोट्यांेवं विहितेन यच्चतुरश्रं कोट्यां तेनैव सह साख्या बोद्धव्योति । मण्डलपूरणे चैकेनै कं भवति । अर्धे चार्धमिति कस्यचिभ्द्रान्तिःस्याततस्तं प्रत्याह

अर्धप्रमाणेन पादप्रमाणं विधीयते ।

प्रमाणस्यार्धप्रमाणेन पादप्रमाणं विधीयते । अस्यैव कारणमाह

अर्धस्य द्विप्रमाणायाः पादपूरणत्वात् ॥ ३.१० ॥

because four such squares to complete the area (of the original square) are produced with twice the half side.

अर्धस्य द्विप्रमाणायाः पादपूरणत्वात् ॥ ३.१० ॥

तृतीयेन नवमी कला ॥ ३.१० ॥

With one-third the side of a square is produced its ninth part.

3.8–3.10. According to Kapardib : yāvatpramāṇa yāvadāyāmā rajjuḥ tāvato vargānkaroti pańkti karoti | yāvat saṇkhyā yuktam pramāņaṁ tāvat samkhyāyuktaḥ pańktiḥ karoti | pañcamānam pañcasaṇkhyā yuktānvargān karoti | This has been beautifully explained by Karavinda as follows: dvipramāṇapārśvamānikam- ekapramāṇatiryaṁmāniyakam dvidha’ pacchidya dve upalabhyete | dvipramāņa pārśvamānikam tripramāṇa tiryanmānīkam prāk dvidhodak tridha’ pacchidya şaḍupalabhyante / This result was also known to Baudhāyana who used the same method of division of square by parallel lines in connection with the construction of square garhapatya (Bśl. 7.4-7.8). a Aśl. Mysore 73, 55, 57. b Aśl. Mysore 73, 57. © Aśl., Mysore 73, 58

Depending on the same analogy, sūtras Āśl. 3.8. and 3.10 explain that (11⁄2 a)2 21 a2, and (2 a)2 6a2, (a)2 $$1\frac{1}{2}{a}^2=2\frac{1}{4}{a}^2$$ and $$(2\frac{1}{2}a{)}^2,=6\frac{1}{4}{a}^2,(\frac{1}{2}a{)}^2=\frac{1}{4}{a}^2,(\frac{1}{3}a{)}^2=\frac{1}{9}{a}^2$$

The method of enlargement of a square of side a by an increment of length x is obtained by (a + x)2 : a2 + 2ax + x2, where ABCD is a square of side AB a, and BE DH increment x (Fig. 4). For obtaining (a + x)2, two rectangles of area ax are joined at two sides of the original square and a small square of side x is added at the corner. This formula is given by Euclid II.4.

तृतीयेन नवमी कला ॥ ३.१० ॥

अर्धस्य द्विप्रमाणा पुरुषमात्री । पादानां पूरणं यतः । तदुक्तं"द्वाभ्यां चत्वारि" इति । तृतीयेन नवमी कला, प्रमाणतृतीयेन नवमी कला नवमोंऽश इत्यर्थः । तदप्युक्तं त्रिभिर्नवेति.

इत्यापस्तम्भसूत्रविवरणे कपर्दिभाष्ये

शुल्बाख्यप्रश्ने प्रथमः पटलः

तृतीयः खण्डः

करविन्दीया व्याख्या.

इदानीं सच्छेदप्रमाणमुच्यतेअध्यर्धेति ।

(अध्यर्धपुरुषा नवमी कला)

अध्यर्धपुरुषप्रमाणेनाध्यर्धपुरुषमभ्यस्य फलं द्वौ सपादौपादसहितौ द्वौपु रुषौ करोति । अर्धतृतीयपुरुषा षट्सपादान्, अर्धं तृतीयं येषां ते अर्धतृयीयाः, ते च प्रमाणं यस्याः सार्ऽधतृतीयपुरुषा । सा येनाभ्यस्ताः फलं सपादान् षद्पुरुषान् करोति । उपलब्धिरपि तथा अध्यर्धपुरुषचतुरश्रस्यार्धेन चैकेन चापच्छेदः प्राक्चोदक्च एक मे केन द्वावर्धौ पादश्व, एवमन्यदपि उभ्यतः सच्छेदे सपादरज्जुमध्यर्धं षोडशांशं करोति । चतुरश्रक्षेत्रविपृद्धौ वृद्धक्षेत्रपरिज्ञानप्रकारमाहअन्तःसमीपं प्रकरणं तदतीत्य वर्तत इत्यत्यन्तः अत्यन्तः प्रदेशः विधिर्यस्य सोऽत्यन्तप्रदेशःसार्वत्रिक इत्यर्थः । समचतुरश्र विषयोऽयम् । यावतायावत्प्रमाणेन, यावताधिकेनयावत्प्र माणोनाधिकेन । एको यावच्छब्दः प्रमाणमात्रविषयः, अन्यो यावच्छब्द आगन्दुविषयः । यावता प्रमाणेन यावन्मात्राधिकेनेत्यर्थः । परिलिखति यच्चतुरश्रकरणार्थं परिलिखति तत्र ततधिकमागन्तुमूलचतुरश्रक्षेत्रं पार्श्वयोः प्राची चोदीची च क्षेत्रमुपदधातिसंयोजयति । यच्च तेनधिकमात्रेण चतुरश्रं क्रियते तत्क्षेत्रं कोट्यां संयोजयति । एतदुक्तं भवतिसर्वत्र समचतुरश्रक्षेत्रविवृद्धौ विवृद्धस्य चतुरश्रस्य च दक्षिणप श्विम भागे मूलप्रमाणकृतचतुरश्रं परिकल्प्य तस्यतस्य पूर्वोत्तरपार्श्वयोस्तत्पार्श्वमितपार्श्वमानीकं प्रमाणाधिकमात्रतिर्यङ्भानीकं क्षेत्रं परिकल्प्य यच्च तेना धिकमात्रेण एकेनैकं द्वाभ्यां चत्वारि त्रिभिर्नवेत्यादिफलकरणं चतुरश्रं क्रियते तत्क्षेत्रं प्रागुदक्कोट्या परिकल्पयेदिति । एवं सर्वत्र समचतुरश्रस्य क्षेत्रवृद्धौ क्षेत्रस्य परिगणनं कुर्यादित्यर्थः ।

अर्धप्रमाणेनप्रमाणार्धेनापादप्रमाणंपादोऽत्र चतुर्थोभागः, तत्प्रमाणं विधीयते संपाद्यते प्रमाणार्धमितं क्षेत्रं प्रमेयस्य चतु र्थभागो बवति । कुतः? अर्धस्य द्विप्रमाणायाः पादपूरणत्वातर्धस्य द्विप्रमाणकतया भूमेश्चतुर्भागः पूर्यते ।

तृतीयेन नवमी कलाप्रमाणतृतीयेन क्षेत्रस्य नवमोंऽशः पूर्यते । उपलब्धि स्तथा । एकप्रमाणाया भूमेरर्धेन प्राक्योदक्चापच्छेदे कृतेर्ऽधप्रमाणकृता भूमिरेकप्रमाणायाः पादो दृश्यते, तस्या एवं प्राक्चोदक्चापच्छेदे प्रमाणतृतीयमिता भूमिरेकप्रमाणाया नवमाशो दृश्यते । तथा चतुर्थेन षोडश कला, पञ्चमेन पञ्चविंशतिकला, षष्ठेन षट्रत्रिंशोंऽशः पूर्यते । एवमन्यान्यपि छेदफलानि द्रष्टव्यानि ॥

इति श्रीकरविन्दस्वामिकृतायां शुल्बप्रदीपिकायां प्रथमः पटलः.

सुन्दरराजीया व्याख्या

अथ सच्छेदानां फलमाह

(अध्यर्धपुरुषा षट्सपादान्)

एवं अर्धचतुर्थपुरुषाद्दादश सपादान्, अर्धपञ्चमपुरुषा विंशतिं सपादानित्यादि । सपादपुरुषा अध्यर्धं षोडशभागं चेत्यादि द्रष्टव्यम् ।

सार्वत्रिकोऽयं विधिःकृत्स्नं चतुरश्रं वर्धयितुमिच्छन् यावता प्रमाणेन वर्धयितुमिच्छति तत्पुरस्तादुत्तरतश्वोपदधाति । अधिकप्रमाणेन यच्चतुरश्रं क्रियते तदुत्तरपूर्वस्यां कोट्याम् । इदानीं तच्छेदानां फलमाह

(अथात्यन्तप्रदेशः)

द्विप्रमाणाया रज्ज्वाः अर्धस्य प्रमाणमात्रस्य पादपूरण त्वात् । द्विप्रमा णाया रज्ज्वाः फलं चत्वारि । तस्य पाद एकम्, तस्य पूरणत्वादित्यर्थः ॥

(तृतीये नवमी कला)

कलाभागस्त्रिप्रमाणायास्तत्तृतीयस्य नवमपूणत्वादिति गम्यमानत्वान्नोक्तम् । चतुर्थेन षोडश, पञ्चमेन पञ्चविंशतिरित्यादि द्रष्टव्यम् ॥

इति सुन्दरराजीये आपस्तम्बशुल्बसूत्रव्याख्याने

शुल्बप्रदीपे प्रथमः पटलः